Skip to main content

Теория: Уравнения, сводящиеся к линейным - 1 (* доп. раздел)

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{3}{x+5}-4=0\)
 

\(\displaystyle x=\)
-\frac{17}{4}
Решение

Так как \(\displaystyle x+5\) –  знаменатель дроби, то \(\displaystyle x+5\) –  ненулевое выражение, и можно представить единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle x+5{\small :}\)

\(\displaystyle 1=\frac{x+5}{x+5}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 4=4\cdot \frac{x+5}{x+5}=\frac{4(x+5)}{x+5}{\small .}\)

Поэтому

\(\displaystyle \frac{3}{x+5}-\color{green}{4}=\frac{3}{x+5}-\color{green}{\frac{ 4\cdot (x+5)}{x+5 }}=\frac{3-(4x+20)}{x+5}=\frac{3-4x-20}{x+5}=\frac{-4x-17}{x+5}{\small . }\)


Получили дробное уравнение:

\(\displaystyle \frac{-4x-17}{x+5}=0{\small . }\)


Решим полученное дробное уравнение. Для этого воспользуемся правилом решения дробных уравнений.

Правило

Дробное уравнение

\(\displaystyle \frac{f(x\,)}{g(x\,)}=0{ \small, }\) то \(\displaystyle f(x\,)=0\) и \(\displaystyle g(x\,)=\not 0{ \small . }\)

Поэтому из уравнения

\(\displaystyle \frac{-4x-17}{x+5}=0\)

следует, что

\(\displaystyle -4x-17=0 \) и \(\displaystyle x+5=\not 0{\small .} \)

Так как \(\displaystyle x+5=0\) при \(\displaystyle x=-5{\small ,}\) то \(\displaystyle x+5=\not 0{\small , }\) если \(\displaystyle x=\not -5{ \small .}\)

Решим линейное уравнение \(\displaystyle -4x-17=0 { \small .} \)

Уравнение \(\displaystyle -4x-17=0\)

\(\displaystyle -4x-17=0{ \small ; } \)

\(\displaystyle -4x=17{\small ; } \)

\(\displaystyle x=-\frac{ 17}{ 4}{\small . } \)

Таким образом, получаем, что

\(\displaystyle x=-\frac{17}{ 4} \) и \(\displaystyle x=\not -5{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle x=-\frac{ 17}{ 4}\) –  искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle \bf -\frac{ 17}{ 4}{\small . } \)