Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 2 \small,\) а большая боковая сторона равна \(\displaystyle 5 \small.\)
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция с прямыми углами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и тупым углом \(\displaystyle C \small.\)
Тогда ее основания \(\displaystyle BC=2\) и \(\displaystyle AD=6 \small,\\ \)большая боковая сторона \(\displaystyle CD=5 \small.\) Опустим высоту \(\displaystyle CH \small.\) В четырехугольнике \(\displaystyle ABCH\) все углы прямые, поэтому он является прямоугольником. Значит, \(\displaystyle AH=BC=2 \small.\) Тогда \(\displaystyle HD=AD-AH=6-2=4 \small.\) |  |
Найдем высоту \(\displaystyle CH\) трапеции из прямоугольного треугольника \(\displaystyle CHD\small.\)
Нам известны гипотенуза \(\displaystyle CD=5\) и катет \(\displaystyle HD=4 \small.\) По теореме Пифагора \(\displaystyle CH^2=CD^2-DH^2 \small.\) Значит, \(\displaystyle CH^2=5^2-4^2=25-16=9=3^2 \small.\) Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle CH=3 \small.\) |  |
Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то
\(\displaystyle {S_{ABCD}} = \frac{{AD}+{BC}}{2}\cdot {CH} =\frac{{6}+{2}}{2}\cdot {3} = \frac{8}{2}\cdot {3} = 4\cdot {3} =12 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 12 \small.\)