Дан параллелограмм \(\displaystyle ABCD{\small,}\) площадь которого равна \(\displaystyle 1{\small.}\) Через середину \(\displaystyle M\) стороны \(\displaystyle BC\) и вершину \(\displaystyle A\) проведена прямая, пересекающая диагональ \(\displaystyle BD\) в точке \(\displaystyle O{\small.}\) Найдите площадь четырехугольника \(\displaystyle OMCD{\small.}\)
Диагональ \(\displaystyle BD\) делит параллелограмм на два равных треугольника. Значит, \(\displaystyle S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}{\small.}\) По свойству площади \(\displaystyle S_{OMCD}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle BOM}{\small.}\) |  |
Найдем площадь треугольника \(\displaystyle BOM{\small.}\)
Проведем через точку \(\displaystyle O\) высоту параллелограмма \(\displaystyle HN{\small.}\)
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание.
Пусть \(\displaystyle OH=h{\small,}\) тогда
\(\displaystyle S_{\triangle BOM}=\frac{h\cdot BM}{2}{\small.}\)
\(\displaystyle h\cdot BM=\frac{1}{6}\small.\)
Так как стороны параллелограмма \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) параллельны, то накрест лежащие углы равны:
Следовательно, треугольники \(\displaystyle BOM\) и \(\displaystyle DOA\) подобны по двум углам. |  |
При этом коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:
\(\displaystyle k=\frac{AD}{BM}=2{\small.}\)
Значит, высота треугольника \(\displaystyle AOD\) вдвое больше высоты треугольника \(\displaystyle BOM{\small:}\)
\(\displaystyle ON=2\cdot OH=2h{\small.}\)
По условию площадь параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) равна \(\displaystyle 1{\small.}\)
Площадь параллелограмма равна произведению стороны и высоты , опущенной на нее:
\(\displaystyle S_{ABCD}=BC\cdot NH{\small.}\)
Подставим \(\displaystyle S_{ABCD}=1{\small,}\) \(\displaystyle BC=2BM\) и \(\displaystyle NH=ON+OH=2h+h=3h{\small:}\)
\(\displaystyle 1=2BM\cdot 3h{\small,}\)
\(\displaystyle h\cdot BM=\frac{1}{6}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle S_{\triangle BOM}=\frac{h\cdot BM}{2}=\frac{\phantom{11}\dfrac{1}{6}\phantom{11}}{2}=\frac{1}{12}\small.\)
Найдём площадь четырехугольника \(\displaystyle OMCD{\small:}\)
\(\displaystyle S_{OMCD}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S_{OMCD}=\frac{5}{12}\small.\)