Теория: 09 Трапеции (короткая версия)

Обозначим вершины трапеции. Пусть \(\displaystyle AD\) – большее основание.

Прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MX\) параллельны, значит, соответственные углы равны:

\(\displaystyle \angle MXY=\angle BAD=30^{\circ}\small.\)

Прямые \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle MY\) параллельны, значит, соответственные углы равны:

\(\displaystyle \angle MYX=\angle CDA=60^{\circ}\small.\)

Сумма углов треугольника \(\displaystyle XMY\) равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) тогда

\(\displaystyle \angle XMY=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}\small.\)

В четырехугольниках \(\displaystyle ABMX\) и \(\displaystyle CDYM\) противоположные стороны параллельны.

Значит, \(\displaystyle ABMX\) и \(\displaystyle CDYM\) – параллелограммы.

В параллелограмме противоположные стороны равны:

\(\displaystyle XM=AB\)    и    \(\displaystyle MY=CD\small.\)

Четырехугольники \(\displaystyle ABMX\) и \(\displaystyle CDYM\) – параллелограммы.

Тогда

\(\displaystyle AX=BM=CM=DY\small.\)

Точка \(\displaystyle N\) делит \(\displaystyle AD\) пополам. Поскольку \(\displaystyle AX=DY\small,\) то \(\displaystyle N\) также середина \(\displaystyle XY\small.\)

Значит, \(\displaystyle MN\) – медиана в треугольнике \(\displaystyle XMY\small.\)

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы:

\(\displaystyle MN=\frac{XY}{2}\small.\)

По условию \(\displaystyle MN=3{\small,}\) тогда

\(\displaystyle XY=2MN=2\cdot3=6\small.\)

Четырехугольники \(\displaystyle ABMX\) и \(\displaystyle CDYM\) – параллелограммы.

Тогда

\(\displaystyle AX=BM=CM=DY\small.\)

Значит,

\(\displaystyle AD-BC=AD-AX-DY=XY=6\small.\)

Имеем два соотношения:

\(\displaystyle \begin{cases}AD+BC=10,\\AD-BC=6.\end{cases}\)

Из второго равенства получаем:

\(\displaystyle AD=BC+6\small.\)

Подставляя в первое, получаем:

\(\displaystyle (BC+6)+BC=10\small,\)

\(\displaystyle 2BC=4\small,\)

\(\displaystyle BC=4:2=2\small.\)

Тогда

\(\displaystyle AD=BC+6=2+6=8\small.\)