Skip to main content

Теория: Элементарные квадратные уравнения

Задание

Найдите все корни уравнения:

\(\displaystyle 11x^{\,2}=7{\small . }\)

\(\displaystyle x_1=\)
-\sqrt{\frac{7}{11}}
и \(\displaystyle x_2=\)
\sqrt{\frac{7}{11}}
Решение

Правило

Уравнение \(\displaystyle x^{\,2}=a\)

  • имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)

\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)

  • имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)

\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)

  • не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)

Приведем уравнение \(\displaystyle 11x^{\,2}=7\) к простейшему виду (для которого сформулировано правило).

Разделим обе части уравнения на коэффициент, стоящий перед \(\displaystyle x^{\,2}\) (\(\displaystyle \color{red}{11}x^{\,2}=7\)), то есть на \(\displaystyle 11{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{ 11x^{\,2}}{ 11} =\frac{ 7}{ 11 }{\small ; }\)

\(\displaystyle x^{\,2}=\frac{ 7}{ 11 }{\small . } \)

Применим правило к уравнению \(\displaystyle x^{\,2}=\frac{ 7}{ 11 }{\small . }\)

Так как \(\displaystyle \frac{ 7}{ 11 }>0{\small ,}\) то уравнение имеет два решения:

\(\displaystyle x= \sqrt{\frac{ 7}{ 11 }}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{\frac{ 7}{ 11 }}{\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle \bf x= \sqrt{\frac{ 7}{ 11 }}\) или \(\displaystyle \bf x= -\sqrt{\frac{ 7}{ 11 }}{\small . } \)