Skip to main content

Теория: 02 Уравнения, сводящиеся к линейным - 1

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{25}{x+5}+4x=0\)
 

\(\displaystyle x=\)
-2,5
Решение

Так как \(\displaystyle x+5\) –  знаменатель дроби, то \(\displaystyle x+5\) –  ненулевое выражение, и можно представить единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle x+5{\small :}\)

\(\displaystyle 1=\frac{x+5}{x+5}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 4x=4x\cdot 1=4x\cdot \frac{x+5}{x+5}=\frac{4x\,(x+5)}{x+5}{\small .}\)

Поэтому

\(\displaystyle \frac{25}{x+5}+\color{green}{4x}=\frac{25}{x+5}+\color{green}{\frac{ 4x\cdot (x+5)}{x+5 }}=\frac{25+4x\,(x+5)}{x+5}=\frac{25+4x^{\,2}+20x}{x+5}=\frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}{\small . }\)


Получили дробное уравнение:

\(\displaystyle \frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}=0{\small . }\)

Решим данное уравнение. Для этого воспользуемся правилом решения дробных уравнений.

Правило

Дробное уравнение

\(\displaystyle \frac{f(x\,)}{g(x\,)}=0{ \small, }\) то \(\displaystyle f(x\,)=0\) и \(\displaystyle g(x\,)=\not 0{ \small . }\)

Поэтому из уравнения

\(\displaystyle \frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}=0\)

следует, что

\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0 \) и \(\displaystyle x+5=\not 0{\small .} \)

Так как \(\displaystyle x+5=0\) при \(\displaystyle x=-5{\small ,}\) то \(\displaystyle x+5=\not 0{\small , }\) если \(\displaystyle x=\not -5{ \small .}\)


Решим уравнение \(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0 { \small .} \)

Уравнение \(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0 { \small .} \)

\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0{ \small . } \)

Свернем выражение в левой части уравнения, воспользовавшись формулой квадрата суммы:

\(\displaystyle a^{\,2}+2ab+b^{\,2}= (a+b\,)^2{\small . } \)

Тогда

\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25= (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2=(2x+5)^2{\small . } \)

Получили уравнение

\(\displaystyle (2x+5)^2=0{\small , } \)

откуда

\(\displaystyle 2x+5=0{\small . } \)

Решая это линейное уравнение, получаем:

\(\displaystyle 2x=-5{\small , } \)

\(\displaystyle x=-\frac{ 5}{ 2}=-2{,}5{\small . } \)

Таким образом, получаем, что

\(\displaystyle x=-2{,}5 \) и \(\displaystyle x=\not -5{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle x=-2{,}5\) –  искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle \bf -2{,}5{\small . } \)