В арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{10} = 27{\small .}\) Найти
Обобщенное характеристическое свойство арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)
\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l.\)
Согласно обобщенному характеристическому свойству арифметической прогрессии,
\(\displaystyle \color{blue}{ a_{7} + a_{13}} = \color{blue}{ 2a_{10}}\) и \(\displaystyle \color{green}{ a_{8} + a_{12}} = \color{green}{ 2a_{10}}{\small .}\)
Группируя слагаемые в исходном равенстве, получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{ a_{7}} + \color{green}{ a_{8}}+ \color{green}{ a_{12}}+ \color{blue}{ a_{13}}= (\color{blue}{ a_{7} + a_{13}})+(\color{green}{ a_{8} + a_{12}})=\color{blue}{ 2a_{10}}+\color{green}{ 2a_{10}}=4a_{10}{ \small .}\)
Так как по условию \(\displaystyle a_{10}=27{ \small ,} \) то
\(\displaystyle a_{7} + a_{8} + a_{12} + a_{13} = 4\cdot 27=108{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 108{\small .}\)