Skip to main content

Теория: Обратная теорема Виета и решение квадратного уравнения (в целых числах)-2

Задание

Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle 3x^2-26x+35=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
\frac{5}{3}
\(\displaystyle x_2=\)
7
Решение

Применим обратную теорему Виета.

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[14px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Выделим в данном уравнении коэффициенты:

\(\displaystyle 3x^2-26x+35= \color{magenta}{ 3}x^2 \color{green}{ -26}x+\color{blue}{ 35} {\small .}\)

Тогда \(\displaystyle a=\color{magenta}{ 3},\, \color{green}{ b}= \color{green}{ -26}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 35}{\small .}\)

Для применения обратной теоремы Виета нужно, чтобы старший коэффициент был равен единице.

Разделим поэтому обе части уравнения на \(\displaystyle 3{\small : } \)

\(\displaystyle 3x^2-26x+35=0 \,\,| :3{\small , } \)

\(\displaystyle \frac{3}{3}x^2- \frac{26}{3}x+ \frac{26}{3}= \frac{0}{3}{\small , } \)

\(\displaystyle x^2-\frac{26}{3}x+ \frac{35}{3}=0{\small .} \)

Снова выделим коэффициенты:

\(\displaystyle x^2-\frac{26}{3}x+ \frac{35}{3}=x^2\color{green}{ -\frac{26}{3}}x+ \color{blue}{ \frac{35}{3}}{\small .} \)

Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -\frac{26}{3}}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{35}{3}}{\small .}\)

Представим дробь \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{35}{3}} \)  как произведение целого числа и  дроби, или двух несократимых дробей:

\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{1} \cdot \color{orange}{\frac{35}{3}}=\color{red}{(-1)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{35}{3}\right)}{ \small ,} \)

\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{5} \cdot \color{orange}{\frac{7}{3}}=\color{red}{(-5)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{7}{3}\right)}{ \small ,} \)

\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{7} \cdot \color{orange}{\frac{5}{3}}=\color{red}{(-7)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{5}{3}\right)}{ \small ,} \)

\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{35} \cdot \color{orange}{\frac{1}{3}}=\color{red}{(-35)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{1}{3}\right)}{\small .} \)

Из разложения \(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{1} \cdot \color{orange}{\frac{35}{3}} \) предположим, что \(\displaystyle x_1=\color{red}{1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{35}{3}} \)

Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{35}{3}}, \) то

\(\displaystyle x_1+x_2=1+\frac{35}{3}=\frac{38}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)

что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.

Из разложения \(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{(-1)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{35}{3}\right)} \) предположим, что \(\displaystyle x_1=\color{red}{-1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{35}{3}} \)

Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{-1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{35}{3}}, \) то

\(\displaystyle x_1+x_2=-1-\frac{35}{3}=-\frac{38}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)

что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.

Из разложения \(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{5} \cdot \color{orange}{\frac{7}{3}} \) предположим, что \(\displaystyle x_1=\color{red}{5}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{7}{3}} \)

Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{5}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{7}{3}}, \) то

\(\displaystyle x_1+x_2=5+\frac{7}{3}=\frac{22}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)

что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.

Из разложения \(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{(-5)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{7}{3}\right)}\) предположим, что \(\displaystyle x_1=\color{red}{-5}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{7}{3}} \)

Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{-5}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{7}{3}}, \) то

\(\displaystyle x_1+x_2=-5-\frac{7}{3}=-\frac{22}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)

что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.

Из разложения \(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{7} \cdot \color{orange}{\frac{5}{3}} \) предположим, что \(\displaystyle x_1=\color{red}{7}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{3}} \)

Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{7}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{3}}, \) то

\(\displaystyle x_1+x_2=7+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}=\color{green}{ -b}{ \small .}\)

Значит, наше предположение верно, и по обратной теореме Виета \(\displaystyle x_1=\color{red}{7}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{3}} \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle 3x^2-26x+35=0{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 7 \) и \(\displaystyle \frac{ 5}{ 3 }{\small .} \)