Известно, что в геометрической прогрессии \(\displaystyle b_{6}< 0{\small ,}\) а также
\(\displaystyle b_{2} \cdot b_{10} = 16{\small .}\)
Найти
Воспользуемся обобщенным характеристическим свойством геометрической прогрессии.
Обобщенное характеристическое свойство геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=l+k{\small .}\)
Перепишем \(\displaystyle b_2\cdot b_{10} \) таким образом, чтобы можно было воспользоваться правилом:
\(\displaystyle b_2\cdot b_{10}=b_{\color{red}{ 6}-\color{blue}{ 4}}\cdot b_{\color{red}{ 6}+\color{blue}{ 4}} \).
Тогда по характеристическому свойству геометрической прогрессии получаем:
\(\displaystyle b_{\color{red}{ 6}-\color{blue}{ 4}}\cdot b_{\color{red}{ 6}+\color{blue}{ 4}}= b_\color{red}{ 6}^2{\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle b_{6}^2=b_{2}\cdot b_{10}{\small , }\)
\(\displaystyle b_{6}^2=16{\small , }\)
\(\displaystyle b_{6}=4\) или \(\displaystyle b_{6}=-4{\small .} \)
Так как по условию \(\displaystyle b_{6}<0{ \small ,} \) то \(\displaystyle b_6=-4{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -4{\small .}\)