Найдите сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_{19}{ \small ,}\) если \(\displaystyle a_4 = 2{ \small ,}\,a_{16} = 20{\small .}\)
Сначала найдем \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \) воспользовавшись формулой для n-го члена арифметической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
Запишем \(\displaystyle a_{4} \) и \(\displaystyle a_{16}{\small : } \)
\(\displaystyle a_{4} = a_1 + 3d\) и \(\displaystyle a_{16} = a_1 + 15d{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_{4}=2\) и \(\displaystyle a_{16}=20{ \small ,} \) то получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1 + 3d&=2{ \small ,}\\a_1 + 15d&=20{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1=2-3d{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle (2-3d)+15d=20{ \small ,}\)
\(\displaystyle 2-3d+15d=20{ \small ,}\)
\(\displaystyle -3d+15d=20-2{ \small ,}\)
\(\displaystyle 12d = 18{ \small ,}\)
\(\displaystyle d =1{,}5{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=2-3d{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a_1=2-3\cdot 1{,}5{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-2{,}5{\small .} \)
Теперь, зная \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle S_{19}{\small .} \)
Воспользуемся формулой.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии равна
\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \)
Или, записывая через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)
Тогда
\(\displaystyle S_{19}= \frac{ 2a_1+d(19-1)}{ 2 }\cdot 19{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19}= \frac{ 2a_1+18d}{ 2 }\cdot 19{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19}= (a_1+9d)\cdot 19{ \small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=-2{,}5 \) и \(\displaystyle d= 1{,}5{ \small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle S_{19}= (-2{,}5+9\cdot 1{,}5)\cdot 19{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19}= (-2{,}5+13{,}5)\cdot 19{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19}= 11\cdot 19{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19}= 209{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 209{\small .}\)