Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству
\(\displaystyle x^2-2x-15\le 0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\) |
или
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\). |
Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2-2x-15 \) на множители.
Выделим коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-2x-15=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -2}\cdot x\color{blue}{ -15}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -2}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -15}{\small .} \)
Запишем с данным трехчленом квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2-2x-15=0 \)
и найдем его корни.
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{(-2)}^2-4\cdot (\color{blue}{ -15})=4+60=64\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 64}=8{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-2)-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3{\small .}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-(-2)+8}{2}=\frac{10}{2}=5{ \small .}\)
Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.
Разложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)
где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)
В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle -3\) и \(\displaystyle 5{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle x^2-2x-15=\color{red}{ 1}\cdot (x-(-3))(x-5)=(x+3)(x-5) {\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2-2x-15\le 0 \) превращается в неравенство
\(\displaystyle (x+3)(x-5)\le 0{\small .}\)
Запишем его в виде системы эквивалентных линейных неравенств.
Все решения неравенства \(\displaystyle (x+1)(x-5)\le 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x+3\ge 0{ \small ,}\, x-5\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный;
- либо \(\displaystyle x+3\le 0{ \small ,}\, x-5\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+3&\ge 0{ \small ,}\\x-5 &\le 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+3&\le 0{ \small ,}\\x-5& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо во всех неравенствах, получаем искомый ответ:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -3{ \small ,}\\x &\le 5\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -3{ \small ,}\\x& \ge 5{\small .}\end{aligned}\right.\)