Skip to main content

Теория: 02 Частное и линейные неравенства

Задание

Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству:

\(\displaystyle \frac{x-3}{x+8}<0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\).

 

Решение

Дробь \(\displaystyle \frac{ a}{ b } <0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b<0\) – числитель положителен, знаменатель отрицателен,
  • либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b>0\) – числитель отрицателен, знаменатель положителен.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle \frac{x-3}{x+8}<0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-3>0{ \small ,}\, x+8<0\) – числитель положителен, знаменатель отрицателен,
  • либо \(\displaystyle x-3<0{ \small ,}\, x+8>0\) – числитель отрицателен, знаменатель положителен.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&>0{ \small ,}\\x+8 &< 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&< 0{ \small ,}\\x+8& > 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо во всех неравенствах, получаем искомый ответ:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>3{ \small ,}\\x &< -8\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 3{ \small ,}\\x& > -8{\small .}\end{aligned}\right.\)