Skip to main content

Теория: 03 Решение квадратного неравенства через произведение

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle -5(18-3x)(x+6) \le 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Упростим неравенство \(\displaystyle -5(18-3x)(x+6) \le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle -5{\small .} \)

При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \color{blue}{ -5}(18-3x)(x+6)\le 0 \,| :(\color{blue}{ -5})\)

\(\displaystyle (18-3x)(x+6)\ge 0{\small .} \)


Запишем неравенство \(\displaystyle (18-3x)(x+6)\ge 0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (18-3x)(x+6)\ge 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle 18-3x\ge 0{ \small ,}\, x+6\ge 0{\small ; }\)
  • либо \(\displaystyle 18-3x\le 0{ \small ,}\, x+6\le 0{\small .}\)

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}18-3x&\ge 0{ \small ,}\\x+6 &\ge 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}18-3x&\le 0{ \small ,}\\x+6& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

При решении линейного неравенства все неизвестные собираются с одной стороны, все числа – с другой стороны неравенства. Получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-3x&\ge -18{ \small ,}\\x&\ge -6\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-3x&\le -18{ \small ,}\\x& \le -6{\small .}\end{aligned}\right.\)

Разделим обе части первого неравенства на отрицательное число \(\displaystyle -3\) и изменим знак неравенства на противоположный. Тогда получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 6{ \small ,}\\x&\ge -6\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 6{ \small ,}\\x& \le -6{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\le 6{ \small ,}\\ x &\ge -6{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\le 6\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Неравенство \(\displaystyle x\ge -6\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше либо равна \(\displaystyle 6\) и больше либо
равна \(\displaystyle -6{\small :}\)

  

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in [-6;6]{\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 6{ \small ,}\\ x &\le -6{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\ge 6\) соответствует множеству точек на прямой:



Неравенство \(\displaystyle x\le -6\) соответствует множеству точек на прямой:



Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle 6\) и меньше либо
равна \(\displaystyle -6{\small :}\)



Так как в пересечении общих точек нет, то система неравенств решений не имеет.

Значит, множество решений пусто.


Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in [-6;6]{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in [-6;6]{\small .} \)