Решите неравенство
\(\displaystyle x^4+10x^2+9\le 0\)
если известно, что оно эквивалентно пересечению решений неравенств
\(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9.\)
Эквивалентность неравенства пересечению неравенств означает, что решения неравенства \(\displaystyle x^4+10x^2+9 \ge 0\) совпадают с пересечением решений неравенств
\(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9{\small .}\)
Поэтому достаточно сначала найти решения неравенств \(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9{\small ,}\) а затем найти их пересечение.
Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве
\(\displaystyle x^2\ge -1\)
слева стоит положительное число, а справа – отрицательное.
Однако положительное число всегда больше отрицательного числа.
Значит, для неравенства \(\displaystyle x^2\ge -1\) все числа являются решениями.
То есть
\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)
Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве
\(\displaystyle x^2\le -9\)
слева стоит положительное число, а справа – отрицательное.
Однако положительное число не может быть меньше либо равно отрицательного числа.
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2\le -9\) не имеет решений.
Найдем пересечение решений неравенств \(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty)\) и, одновременно, \(\displaystyle x \) не имеет решений (то есть пусто).
Значит, пересечение решений неравенств \(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9\) также пусто.
Ответ: \(\displaystyle x\in \empty{\small .} \)
Для решения элементарных квадратичных неравенства можно воспользоваться формулами.
Для \(\displaystyle a \geqslant 0\) верны следующие утверждения:
- \(\displaystyle x^2 \leqslant a\) равносильно \(\displaystyle -\sqrt{a}\leqslant x\leqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2 < a\) равносильно \(\displaystyle -\sqrt{a}<x < \sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2 \geqslant a\) имеет решение \(\displaystyle x\leqslant -\sqrt{a}\) или \(\displaystyle x\geqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2> a\) имеет решение \(\displaystyle x< -\sqrt{a}\) или \(\displaystyle x> \sqrt{a}{\small . }\)
Для \(\displaystyle a< 0\) верны следующие утверждения:
- \(\displaystyle x^2< a\) – решений нет;
- \(\displaystyle x^2\leqslant a\) – решений нет;
- \(\displaystyle x^2> a\) – все числа являются решениями;
- \(\displaystyle x^2\geqslant a\) – все числа являются решениями.
Используя эти формулы, получаем, что
- все числа являются решениями неравенства \(\displaystyle x^2\geqslant-1\);
- неравенство \(\displaystyle x^2\leqslant -9\) не имеет решений.