Skip to main content

Теория: 07 Биквадратные неравенства

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle x^4-61x^2+900 \ge 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Представим \(\displaystyle x^4\) как \(\displaystyle (x^2)^2\) в биквадратном трехчлене \(\displaystyle x^4-61x^2+900{\small : } \)

\(\displaystyle x^4-61x^2+900= (\color{blue}{ x^2})^2-61\color{blue}{ x^2}+900{\small .} \)

Сделаем замену \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small .} \) Получаем многочлен второй степени:

\(\displaystyle t^2-61t+900{\small .} \)

Найдем его корни и разложим на множители.

\(\displaystyle t^2-61t+900=(t-36)(t-25) \)


Получили неравенство \(\displaystyle (t-36)(t-25)\ge 0{\small .} \) Решим это неравенство.

Неравенство \(\displaystyle (t-36)(t-25)\ge 0 \) имеет решения \(\displaystyle t\le 25 \) или \(\displaystyle t\ge 36\)


Поскольку \(\displaystyle t=x^2{ \small ,} \) то, возвращаясь к переменной \(\displaystyle x{ \small ,} \) получаем объединение неравенств

\(\displaystyle x^2\le 25 \) или \(\displaystyle x^2\ge 36{\small .} \)

Решим эти неравенства.

Неравенство \(\displaystyle x^2\le 25\) имеет решения \(\displaystyle x\in [-5;5] \)

Неравенство \(\displaystyle x^2\ge 36\) имеет решения \(\displaystyle x\in (-\infty;-6]\cup [ 6;+\infty) \)


Объединим решения неравенств \(\displaystyle x^2\le 25\) и \(\displaystyle x^2\ge 36{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle x\in [-5;5] \) или \(\displaystyle x\in (-\infty;-6]\cup [6;+\infty){\small :} \)

Объединяя, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (-\infty;-6]\cup [-5;5]\cup [6;+\infty){\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-6]\cup [-5;5]\cup [6;+\infty){\small .} \)