Теория: 07 Биквадратные неравенства

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle t^2+65t+64=\color{red}{ 1}\cdot t^2+\color{green}{ 65}t\color{blue}{ +64}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 65}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 64}{\small .} \)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle t^2+65t+64=0{ \small .} \)

Дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{65}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 64}=4225-256=3969\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 3969}=63{\small .} \)

Корни уравнения:

\(\displaystyle t_1= \frac{-65+63}{2}=\frac{-2}{2}=-1{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2= \frac{-65-63}{2}=\frac{-128}{2}=-64{\small .}\)

Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle -64{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle t^2+65t+64=\color{red}{ 1}\cdot (t-(-1))(t-(-64))=(t+1)(t+64) {\small .}\)

Все решения неравенства \(\displaystyle (t+1)(t+64)>0\) получаются, когда

• либо \(\displaystyle t+1>0{ \small ,}\, t+64>0\) – оба множителя положительны;
• либо \(\displaystyle t+1<0{ \small ,}\, t+64<0\) – оба множителя отрицательны.

Если это переписать в виде систем, то:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+1&>0{ \small ,}\\t+64&>0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+1&<0{ \small ,}\\t+64& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&>-1{ \small ,}\\t&>-64\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&<-1{ \small ,}\\t& <-64{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Объединяя получившиеся решения, получаем:

\(\displaystyle t<-64\) или \(\displaystyle t> -1{\small .} \)

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2<-64\)

слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.

Однако неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа.

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2<-64\) не имеет решений.

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2>-1\)

слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.

Однако неотрицательное число всегда больше отрицательного числа.

Значит, для неравенства \(\displaystyle x^2>-1\) все числа являются решениями.

То есть

\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)