Решите уравнение (запишите множество корней через запятую; если решений нет, то ответом является пустое множество):
\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0{\small .}\)
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \\[-5px]\left\{\begin{aligned}(x-1)(x-2)&=0{ \small ,}\\(x-2)(x-3)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Следовательно, нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=1& \text{ \small или }x=2{\small ,}\\\red {x=\not 2}&\red { \text{ \small и }x=\not 3}{\small .}\end{aligned}\right.\)
•\(\displaystyle x=1\) является решением системы, так как \(\displaystyle 1=\not \red{2}\) и \(\displaystyle 1=\not \red{3}{\small .}\)
•\(\displaystyle x=2\) не является решением системы, так как \(\displaystyle 2= \red{2}{\small .}\)
Таким образом, получаем, что только
\(\displaystyle x=1 \)– решение системы, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: \(\displaystyle 1 {\small .} \)