Обоснование
- Для чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) дробь \(\displaystyle \frac{a}{b}\) определена, если \(\displaystyle b=\not 0.\) Поэтому рациональное выражение
\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\) определено для всех значений \(\displaystyle x\) для которых \(\displaystyle g(x)=\not0{\small .}\)
- Если \(\displaystyle \frac{a}{b}=0\) и \(\displaystyle b=\not 0,\) то, умножая обе части равенства на ненулевое число \(\displaystyle b{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{a}{b}\cdot b=0 \cdot b{ \small ,}\)
\(\displaystyle a=0{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle f(x)=0\) и \(\displaystyle g(x)=\not0{\small .}\)
ПравилоРациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{x+1}{x-1}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+1&=0{ \small ,}\\x-1&=\not0{\small . }\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle x+1=0 { \small } \) при \(\displaystyle x=-1{\small . }\)
\(\displaystyle x+1=0{ \small ; } \)
\(\displaystyle x=-1{\small . } \)
\(\displaystyle x-1=\not0 { \small } \) при \(\displaystyle x=\not1{\small . }\)
\(\displaystyle x-1=0{ \small ; } \)
\(\displaystyle x=1{\small . } \)
Тогда \(\displaystyle x-1=\not0\) при \(\displaystyle x=\not1{\small . }\)
Следовательно, нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&=-1{ \small ,}\\\color{red}x& \color{red}{=\not 1}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle -1=\not \color{red}1{\small ,}\) то
\(\displaystyle x=-1\) – решение системы, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: \(\displaystyle \bf -1{\small . } \)