Skip to main content

Теория: Рациональное уравнение типа \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\)

Задание

Решите уравнение (запишите множество корней; если решений нет, то ответом является пустое множество):

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{4x^2-12x+8}=0{\small .}\)

Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{4x^2-12x+8}=0\) равносильно системе

\(\displaystyle \\[-5px]\left\{\begin{aligned}x^2-3x+2&=0{ \small ,}\\4x^2-12x+8&=\not 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle x^2-3x+2=0\) при \(\displaystyle x=1{\small }\) или \(\displaystyle x=2{\small .}\)

\(\displaystyle 4x^2-12x+8=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not 1{\small }\) и \(\displaystyle x=\not 2{\small .}\)

Следовательно, нашу систему можно переписать в виде

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=1& \text{ \small или }x=2{\small ,}\\\red{x=\not 2}& \red{\text{ \small и }x=\not 1}{\small .}\end{aligned}\right.\)

•\(\displaystyle x=1\) не является решением системы, так как \(\displaystyle 1=\red{1}{\small .}\)

•\(\displaystyle x=2\) не является решением системы, так как так как \(\displaystyle 2=\red{2}{\small .}\)

Таким образом, 

система, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.


Ответ: \(\displaystyle \varnothing\)