Skip to main content

Теория: Рациональное уравнение типа \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\)

Задание

Решите уравнение (запишите множество корней; если решений нет, то ответом явлется пустое множество):

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{4x^2-12x+8}=0{\small .}\)

Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{4x^2-12x+8}=0\) равносильно системе уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-3x+2&=0{ \small ,}\\4x^2-12x+8&\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=2\) решения уравнения \(\displaystyle x^2-3x+2=0\)

\(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=1\) решения уравнения \(\displaystyle 4x^2-12x+8=0\)

Следовательно, нашу систему можно переписать в виде

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=1& \text{ \small или }x=2{\small ,}\\x\,\cancel{=}\,2& \text{ \small и }x\,\cancel{=}\,1{\small .}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle x=1\) не является решением, так как он исключается знаменателем (\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,1\)).

\(\displaystyle x=2\) не является решением, так как он исключается знаменателем (\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,2\)).

Таким образом, 

уравнение не имеет решений.


Ответ: \(\displaystyle \varnothing\)