Используя метод интервалов, решите неравенство:
\(\displaystyle x^2-3x<-13{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle x^2-3x<-13{\small ,}\)
\(\displaystyle x^2-3x+13<0{\small .}\)
Для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-3x+13=0\) дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 13=-43<0{\small .}\)
Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений в действительных числах.
Значит, нужно рассматривать всю числовую ось как один промежуток:
Получаем один интервал:
\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)
При этом на всей числовой прямой функция \(\displaystyle f(x)=x^2-3x+13\) будет иметь один знак.
Выберем любую точку на прямой и определим знак функции в данной точке. Наиболее удобно выбрать \(\displaystyle x=0{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)=0^2-3\cdot0+13=13>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small :}\)
Решения неравенства \(\displaystyle x^2-3x+13<0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-3x+13\) отрицательна.
Так как функция \(\displaystyle f(x)=x^2-3x+13\) всюду положительна, то решений нет, то есть
\(\displaystyle \varnothing\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in \varnothing{\small .}\)