Решите систему неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&<-5{ \small ,}\\|x|&\le 6{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle x \in \)
Модуль
Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как
\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Тогда, согласно данному определению, получаем два случая:
- \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
- \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)
По условию задачи \(\displaystyle x < -5{\small .}\) Следовательно, все \(\displaystyle x\) отрицательны и поэтому \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)
Тогда система
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -5{ \small ,}\\|x|&\le 6\end{aligned}\right.\)
эквивалентна системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -5{\small ,}\\-x&\le 6{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим полученную систему, умножив второе уравнение на \(\displaystyle -1\) и меняя знак неравенства на противоположный:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -5\\-x&\le 6 \,| \cdot (\color{blue}{ -1})\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -5{ \small ,}\\x&\ge -6{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившуюся систему линейных неравенств.
Неравенство \(\displaystyle x< -5\) соответствует множеству точек на прямой:
Неравенство \(\displaystyle x\ge -6\) соответствует множеству точек на прямой:
Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle -5\) и больше либо равна \(\displaystyle -6{\small :}\)
Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.
Значит, ответ – \(\displaystyle x\in [-6;-5){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in [-6;-5){\small .} \)