Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{x-2}{x-3}\geqslant \frac{1}{x-2}{\small .} \)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle \frac{x-2}{x-3}\geqslant \frac{1}{x-2}{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x-2}{x-3}- \frac{1}{x-2}\geqslant 0{\small , } \)
Получаем следующее неравенство:
\(\displaystyle \frac{x^2-5x+7}{(x-3)(x-2)}\geqslant 0{\small. } \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-5x+7 \) и знаменателя \(\displaystyle (x-3)(x-2){\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x^2-5x+7=0{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle (x-3)(x-2)=0{\small : } \)
\(\displaystyle x-3=0\) или \(\displaystyle x-2=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=2{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=3\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{x^2-5x+7}{ (x-3)(x-2) }\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают невыколотые граничные точки (таких точек в данном случае нет), то
\(\displaystyle (-\infty;2)\cup(3;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2)\cup(3;+\infty){\small .}\)