Через концы \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) дуги окружности с центром \(\displaystyle O\) проведены касательные \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC{\small .}\) Угол \(\displaystyle CAB\) равен \(\displaystyle 32^\circ {\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle AOB{\small .}\) Ответ дайте в градусах.
\(\displaystyle ^{\circ}\)
Пусть дуга \(\displaystyle \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} \) стягивается хордой \(\displaystyle {AB}{\small .}\)
По свойству
Угол между касательной и хордой
Величина угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине заключенной между ними дуги.
получаем:
\(\displaystyle \angle CAB =\frac{1}{2} \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} {\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} =2 \angle CAB =2\cdot 32=64^{\circ} {\small .} \)
Поскольку дуга \(\displaystyle AB\) меньше полуокружности, то по определению градусной меры дуги окружности
Градусная мера дуги окружности
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше или равна полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB,\) опирающегося на дугу \(\displaystyle AB{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB{\small .}\)
получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{\overset{\smile}{AB}}={\angle AOB}{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle {\angle AOB}=\color{blue}{\overset{\smile}{AB}}=64^{\circ }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 64^{\circ} {\small .}\)