На рисунке изображена гипербола \(\displaystyle y=\frac{k}{x-b}{\small.}\) Найдите \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b{\small.}\)
Сначала найдем \(\displaystyle \color{blue}{b}{\small.}\)
На рисунке изображена вертикальная асимптота гиперболы – прямая \(\displaystyle x=\color{blue}{-5}{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle b=\color{blue}{-5}{\small,}\) и уравнение гиперболы имеет вид:
\(\displaystyle y=\frac{k}{x-(\color{blue}{-5})}\) или \(\displaystyle y=\frac{k}{x+5} {\small.}\)
Далее найдем \(\displaystyle \color{red}{k}{\small.}\)
Заметим, что гипербола проходит через точку \(\displaystyle (-2;\, 1){\small.}\)
Значит, если в уравнение гиперболы подставим \(\displaystyle x=-2\) и \(\displaystyle y=1,\) то получим верное равенство:
\(\displaystyle 1=\frac{\color{red}{k}}{-2+5}{\small.}\)
Откуда находим \(\displaystyle \color{red}{k}{\small:}\)
\(\displaystyle 1=\frac{\color{red}{k}}{3}\,\,\Big|\cdot3{\small,}\)
\(\displaystyle 3=\color{red}{k}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle k=3\) и \(\displaystyle b=-5{\small.}\)