Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 2{ \small ,}\) а длина его диагонали равна \(\displaystyle 7{\small .}\) Найти объем параллелепипеда.
Пусть \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед,\(\displaystyle AB=3{\small ,}\) \(\displaystyle AD=2{\small ,}\) \(\displaystyle A_1C=7{\small .}\)
Требуется найти объем параллелепипеда.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда \(\displaystyle V \) равен произведению трех его измерений:
\(\displaystyle V=abc{ \small ,} \)
где \(\displaystyle a { \small ,}\,b{ \small ,}\,c\) – измерения прямоугольного параллелепипеда (длины трех ребер, имеющих общую вершину).
Значит, для вычисления объема нам понадобятся длины трех ребер параллелепипеда.
Найдем длину ребра \(\displaystyle AA_1{\small . }\)
Проведем диагональ основания \(\displaystyle AC{\small .}\) Рассмотрим полученный треугольник \(\displaystyle A_1AC {\small . }\) Ребро \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно плоскости основания, в которой лежит \(\displaystyle AC{\small . }\) |
|
По определению
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перепендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
получаем, что \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно \(\displaystyle AC{\small . }\)
Значит, треугольник \(\displaystyle A_1AC\) – прямоугольный с гипотенузой \(\displaystyle A_1C=7\) и неизвестными катетами \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AA_1 {\small . }\) Найдем \(\displaystyle AC {\small . }\) |
|
Основание \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник, \(\displaystyle AC\) – его диагональ.
Найдем \(\displaystyle AC\) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC\) с катетами \(\displaystyle AB=3\) и \(\displaystyle BC=AD=2{\small .}\)
Вернемся к треугольнику \(\displaystyle A_1AC\) и найдем \(\displaystyle AA_1 {\small .}\) \(\displaystyle A_1C^{\,2}={AA_1}^2+AC^{\,2}{\small .}\) Получаем \(\displaystyle 7^{\,2}={AA_1}^{2}+\left(\sqrt{13}\right)^{2}{\small ,}\) \(\displaystyle 49={AA_1}^2+13{\small ,}\) \(\displaystyle {AA_1}^2=49-13=36{\small .}\) Так как \(\displaystyle AA_1\) – длина отрезка, то \(\displaystyle AA_1\) положительно. \(\displaystyle AA_1=6{\small .}\) |  |
Осталось найти объем параллелепипеда по формуле:
\(\displaystyle V=abc{ \small .} \)
Подставляя \(\displaystyle a=AB=3 { \small ,}\, b=AD=2 { \small ,}\, c=AA_1=6 { \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle V=3 \cdot 2\cdot 6=36{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 36{\small .}\)