Skip to main content

Теория: 02 Параллелепипед

Задание

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 4{ \small ,}\) а площадь его поверхности равна \(\displaystyle 166 {\small .}\) Найти длину третьего ребра, исходящего из той же вершины.

Решение

По условию  известны длины двух ребер паралелепипеда и площадь его поверхности \(\displaystyle S_п=166 { \small .}\) 

Требуется найти длину третьего ребра.

Пусть \(\displaystyle c \) – длина третьего ребра.

Площадь поверхности параллелепипеда \(\displaystyle S_п\)– это сумма площадей поверхности всех его граней.

Грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники. Найдем их площади.

Верхняя и нижняя грани:

\(\displaystyle S_1=7 \cdot 4\)

Фронтальная и задняя грани:

\(\displaystyle S_2=7 \cdot c\)

Боковые грани:

\(\displaystyle S_3=4 \cdot c\)

Тогда площадь поверхности параллелепипеда

\(\displaystyle S_п=2S_1+2S_2+2S_3\)

или

\(\displaystyle S_п=2(S_1+S_2+S_3){\small .}\)

Подставляя найденные выражения для \(\displaystyle S_1 { \small ,} \, S_2 { \small ,} \, S_3 \) и \(\displaystyle S_п=166 { \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle 166=2\cdot( 7 \cdot 4+7 \cdot c +4 \cdot c){ \small .}\)

Решим полученное уравнение и найдём \(\displaystyle c{ \small :}\)

\(\displaystyle 2\cdot( 28+11 \cdot c)=166\,\text{\Large |} : \color{red}{ 2}{ \small ,} \)

\(\displaystyle 28+11c=83{ \small ,} \)

\(\displaystyle 11c=55{ \small ,} \)

откуда

\(\displaystyle c=5{\small .} \)

Значит, длина третьего ребра параллелепипеда равна \(\displaystyle 5{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)