Skip to main content

Теория: 08 Сфера и шар (в стадии наполнения)

Задание

Даны два шара. Площадь поверхности первого шара в \(\displaystyle 9\) раз больше площади поверхности второго. Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго?

Решение

Обозначим \(\displaystyle R_1\) и \(\displaystyle R_2\) –  радиусы,  \(\displaystyle S_1\) и \(\displaystyle S_2\) – площади поверхности первого и второго шаров соответственно. 

Отношение площадей поверхности известно. Требуется найти отношение радиусов.

По формуле для площади поверхности шара \(\displaystyle S=4\pi \cdot R^2\) получаем:

\(\displaystyle S_1=4 \pi \cdot {R_1}^2 {\small ,}\)

\(\displaystyle S_2= 4 \pi \cdot {R_2}^2 {\small .} \)


Запишем отношение площадей поверхности шаров и выразим из него отношение их радиусов.

По условию площадь поверхности первого шара в \(\displaystyle 9\) раз больше площади поверхности второго. Значит,

\(\displaystyle \frac {S_1}{S_2}=9 {\small .} \)

Получаем: 

\(\displaystyle \frac {4 \pi \cdot {R_1}^2}{4 \pi \cdot {R_2}^2}=9 {\small ,} \)

откуда

\(\displaystyle \frac {{R_1}^2}{ {R_2}^2} = \left( \frac {R_1}{R_2} \right)^2=9 {\small .} \)

Так как \(\displaystyle R_1\) и \(\displaystyle R_2\) –  длины радиусов шаров, то \(\displaystyle R_1>0 {\small ,}\,R_2>0\) и их отношение также положительно.

Поэтому

\(\displaystyle \frac {R_1}{R_2}=3 {\small .} \)

Таким образом, радиус первого шара в \(\displaystyle 3\) раза больше, чем радиус второго шара. 

Ответ: \(\displaystyle 3 {\small .} \)