Skip to main content

Теория: 09 Комбинации круглых тел - 1 (в стадии наполнения)

Задание

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен \(\displaystyle 28 {\small.}\) Найдите объем конуса.

Решение

По условию конус вписан в шар. При этом радиус основания конуса равен радиусу шара.

Объем шара известен. Требуется найти объем конуса.

Введем обозначения:

  • \(\displaystyle r\) – радиус шара и основания конуса,
  • \(\displaystyle h\) – высота конуса.

Высота конуса равна радиусу шара:

 \(\displaystyle h=r \small.\)

По условию радиус основания конуса равен радиусу шара. Значит, основание конуса является большим кругом шара. 

Поэтому центр шара \(\displaystyle O\) совпадает с центром основания конуса:   \(\displaystyle OA=r \small .\)

Пусть  \(\displaystyle OB\) – высота конуса: \(\displaystyle OB=h \small .\)

Но \(\displaystyle OB\)  – это и радиус шара: \(\displaystyle OB=r \small .\)

Значит, 

 \(\displaystyle h=r \small .\)

Необходимо найти объем конуса.

Воспользуемся формулой:

\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h { \small .}\)

Так как \(\displaystyle h=r{ \small ,}\) формула примет вид:

\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r =\frac{1}{3} \pi \cdot r^3 \small .\)

Для нахождения объема конуса необходимо знать \(\displaystyle r^3\small .\)

 

По условию известен объем шара.

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small .}\)

Зная \(\displaystyle V_ш=28\small ,\) найдем \(\displaystyle r^3 { \small .}\) Получаем равенство:

\(\displaystyle 28=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small .}\)

Тогда

 \(\displaystyle r^3 = \frac{21}{\pi}\)

Из полученного ранее равенства 

\(\displaystyle 28=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 \)

получаем

\(\displaystyle r^3 = 28 : \frac{4}{3} \pi = \frac{21}{\pi} \small . \)

 

Вычислим объем конуса, подставив найденное значение \(\displaystyle r^3\) в формулу 

\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3}\pi \cdot r^3 { \small .} \)

Получаем:

\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{21}{\pi}= 7{ \small .}\)

Значит, объем конуса равен \(\displaystyle 7 \small .\)

Ответ: \(\displaystyle 7{\small .} \)