Skip to main content

Теория: Представление дробей в виде конечной или периодической десятичной дроби

Задание

Найдите первые три цифры после запятой при делении \(\displaystyle 1\) на \(\displaystyle 6\) в столбик. Впишите каждую цифру в отдельную ячейку:

\(\displaystyle 1:6=0{,}\)\(\displaystyle \dots\)

Запишите минимальный период полученной периодической дроби, равной \(\displaystyle \frac{1}{6}\):

\(\displaystyle \frac{1}{6}=0{,}\)\(\displaystyle (\)\(\displaystyle )\)

Решение

Разделим \(\displaystyle 1\) на \(\displaystyle 6\) в столбик, производя деление до первого повторения делимого внутри процесса деления:

 

          шаг 1шаг 2шаг 3 
  \(\displaystyle -\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)   \(\displaystyle 6\)     
Вычитаем 6 из 10Шаг 1 \(\displaystyle 6\)   \(\displaystyle 0\)\(\displaystyle ,\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle \color{blue}{6}\)\(\displaystyle 6\)\(\displaystyle \dots\)
   \(\displaystyle -\)\(\displaystyle \color{red}{4}\)\(\displaystyle \color{red}{0}\)        
Вычитаем 36 из 40Шаг 2 \(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 6\)        
    \(\displaystyle -\)\(\displaystyle \color{red}{4}\)\(\displaystyle \color{red}{0}\)       
Вычитаем 36 из 40Шаг 3  \(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 6\)       
      \(\displaystyle \dots\)       

 

Так как на втором и третьем шагах получаем одно и то же делимое (число \(\displaystyle 40\)), то цифра \(\displaystyle \color{blue}{6}\) в частном, полученная на втором шаге, будет непрерывно повторяться.

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{1}{6}=0{,}1\color{green}{6}\color{blue}{6}\ldots\)

и, следовательно,

\(\displaystyle \frac{1}{6}=0{,}1(6).\)

 

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{6}=0{,}166\dots\) и \(\displaystyle \frac{1}{6}=0{,}1(6).\)