Skip to main content

Теория: Представление дробей в виде конечной или периодической десятичной дроби

Задание

Найдите периодическую дробь, равную \(\displaystyle \frac{19}{185}\):

\(\displaystyle \frac{19}{185}=0{,}\)\(\displaystyle (\)\(\displaystyle )\)

В последнюю ячейку (в скобках) запишите минимальный период, а в оставшуюся – цифру перед этим периодом.

Решение

Разделим \(\displaystyle 19\) на \(\displaystyle 185\) в столбик, производя деление до первого повторения делимого внутри процесса деления:

              шаг 1шаг 2шаг 3шаг 4шаг 5шаг 6 
  \(\displaystyle -\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 9\)\(\displaystyle 0\)      \(\displaystyle 185\)        
Вычитаем 185 из 190Шаг 1\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 8\)\(\displaystyle 5\)      \(\displaystyle 0\)\(\displaystyle ,\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle \color{blue}{0}\)\(\displaystyle \color{blue}{2}\)\(\displaystyle \color{blue}{7}\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle \dots\)
Добавление дополнительного нуля: 50 → 500шаг 2  \(\displaystyle -\)\(\displaystyle \color{red}{5}\)\(\displaystyle \color{red}{0}\)\(\displaystyle \color{red}{0}\)            
Вычитаем 370 из 500Шаг 3  \(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 7\)\(\displaystyle 0\)             
    \(\displaystyle -\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)           
Вычитаем 1295 из 1300Шаг 4  \(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 9\)\(\displaystyle 5\)            
Добавление дополнительного нуля: 50 → 500шаг 5     \(\displaystyle -\)\(\displaystyle \color{red}{5}\)\(\displaystyle \color{red}{0}\)\(\displaystyle \color{red}{0}\)          
Вычитаем 370 из 500Шаг 6     \(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 7\)\(\displaystyle 0\)          
          \(\displaystyle \dots\)          

 

Так как второй и пятый шаги идентичны, то последовательность цифр \(\displaystyle 027\) в частном, полученная со второго по четвертый шаги, будет непрерывно повторяться.

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{19}{185}=0{,}1\color{blue}{027}\color{red}{027}\color{green}{027}\ldots\)

и, следовательно, можно записать минимальный период периодической дроби:

\(\displaystyle \frac{19}{185}=0{,}1(027).\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{19}{185}=0{,}1(027).\)