Найдите первые четыре цифры после запятой при делении \(\displaystyle 7\) на \(\displaystyle 11\) в столбик, записывая каждую цифру в отдельную ячейку:
\(\displaystyle 7:11=0{,}\)\(\displaystyle \dots\)
Запишите минимальный период полученной периодической дроби, равной \(\displaystyle \frac{7}{11}\):
\(\displaystyle \frac{7}{11}=0{,}(\)\(\displaystyle )\)
Разделим \(\displaystyle 7\) на \(\displaystyle 11\) в столбик, производя деление до первого повторения делимого внутри процесса деления:
| шаг 1 | шаг 2 | шаг 3 | |||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{7}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | \(\displaystyle 11\) | ||||||||||
| Вычитаем 66 из 70 | Шаг 1 | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle {,}\) | \(\displaystyle \color{blue}{6}\) | \(\displaystyle \color{blue}{3}\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle \dots\) | ||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||||||
| Вычитаем 33 из 40 | Шаг 2 | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 3\) | ||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{7}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | |||||||||||
| Вычитаем 66 из 70 | Шаг 3 | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 6\) | ||||||||||
| \(\displaystyle \dots\) |
Так как на первом и третьем шагах получаем одно и то же делимое (число \(\displaystyle 70\)), то последовательность цифр \(\displaystyle 63\) в частном, полученная с первого по второй шаги, будет непрерывно повторяться.
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{7}{11}=0{,}\color{blue}{63}\color{red}{63}\ldots\)
и, следовательно, можно записать минимальный период периодической дроби:
\(\displaystyle \frac{7}{11}=0{,}(63).\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{7}{11}=0{,}6363\dots\) и \(\displaystyle \frac{7}{11}=0{,}(63).\)