Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 43\) и \(\displaystyle 73\small.\) Косинус острого угла трапеции равен \(\displaystyle \dfrac{5}{7}\small.\) Найдите боковую сторону.
Пусть \(\displaystyle AD=73\) и \(\displaystyle BC=43\) – основания, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) По свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, \(\displaystyle \cos \angle A=\cos \angle D=\frac{5}{7}\small.\) Требуется найти боковую сторону. Проведем высоты \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) трапеции. |  |
Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K =BC=43 \small.\)
Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\) Значит \(\displaystyle AH=DK\) и \(\displaystyle AH=DK=\frac{AD-BC}{2}\small,\) \(\displaystyle AH=\frac{73-43}{2}=\frac{30}{2}=15\small.\) |  |
Боковую сторону \(\displaystyle AB \) трапеции найдем из треугольника \(\displaystyle ABH\small.\) Нам известны \(\displaystyle \cos \angle BAH=\frac{5}{7}\) и прилежащий к острому углу \(\displaystyle BAH\) катет \(\displaystyle AH=15\small.\) Так как \(\displaystyle \cos \angle BAH=\frac{AH}{AB},\) то \(\displaystyle AB=\frac{AH}{\cos\angle BAH}=\frac{15}{\phantom{1}{\displaystyle\frac{5}{7}}\phantom{1}}=\) \(\displaystyle =\frac{15\cdot 7}{5}=3\cdot 7=21\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle 21 \small.\)