Теория: Тригонометрия

Пусть \(\displaystyle AD=12\) и \(\displaystyle BC=6\) – основания,\(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\)

По свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Значит, \(\displaystyle \sin \angle A=\sin \angle D =0{,}8\small.\)

Требуется найти площадь трапеции.

Проведем высоты \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) 

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\)и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\)

Значит, \(\displaystyle AH=DK\) и 

\(\displaystyle AH=DK=\frac{AD-BC}{2}\small,\)

\(\displaystyle AH=\frac{12-6}{2}=\frac{6}{2}=3\small.\)

Высоту \(\displaystyle BH \) трапеции найдем из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH\small.\)

Нам известны \(\displaystyle \sin \angle BAH=0{,}8\) и прилежащий к острому углу \(\displaystyle BAH\) катет \(\displaystyle AH=3\small.\)

По основному тригонометрическому тождеству 

\(\displaystyle \begin{aligned}\cos ^2 \angle BAH &=1- \sin ^2 \angle BAH=\\ &=1- (0{,}8)^2=1-0{,}64=0{,}36\small. \end{aligned}\)

Так как угол \(\displaystyle BAH\) острый, то его косинус положителен:

\(\displaystyle \cos \angle BAH =\sqrt{0{,}36}=0{,}6\small,\)

\(\displaystyle \tg \angle BAH =\frac{\sin \angle BAH}{\cos \angle BAH} =\frac{0{,}8}{0{,}6}=\frac{4}{3}\small.\)

Поскольку

\(\displaystyle \tg \angle BAH =\frac{BH}{AH}\small,\)

то

\(\displaystyle BH={AH}\cdot {\tg \angle BAH}={3}\cdot {\frac{4}{3}}=4\small.\)