Skip to main content

Теория: 03 Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Задание

Случайная величина \(\displaystyle X\) имеет распределение:

Распределение \(\displaystyle X\)

Значение \(\displaystyle X\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)
Вероятность\(\displaystyle \frac{1}{8}\)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)\(\displaystyle \frac{1}{8}\)


Математическое ожидание \(\displaystyle X\) равно \(\displaystyle E(X)=1\small.\)

Найдите дисперсию и стандартное отклонение \(\displaystyle X\small.\)

\(\displaystyle D(X)=\)
\frac{1}{4}
  и \(\displaystyle \sigma(X)=\)
\frac{1}{2}
Решение

Напомним определение стандартного отклонения случайной величины

Определение

Стандартное отклонение

Стандартным отклонением случайной величины \(\displaystyle X\) называется корень из дисперсии

\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}\small.\)

Тогда сначала вычислим дисперсию.

\(\displaystyle D(X)=\frac{1}{4}\)

Зная математическое ожидание, найдем квадраты отклонений:

Значение \(\displaystyle X\)
\(\displaystyle (x)\)
Отклонение от среднего
\(\displaystyle (x-E(X))\)

Квадрат отклонения
\(\displaystyle (x-E(X))^2\)

Вероятность
\(\displaystyle P(X=x)\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0-1=-1\)\(\displaystyle (-1)^2=1\)\(\displaystyle \frac{1}{8}\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1-1=0\)\(\displaystyle 0^2=0\)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 2-1=1\)\(\displaystyle 1^2=1\)\(\displaystyle \frac{1}{8}\)


Складывая произведения значений в третьем и четвертых столбцах, найдем дисперсию:

\(\displaystyle D(X)=1\cdot\frac{1}{8}+0\cdot\frac{3}{4}+1\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\small.\)

Тогда стандартное отклонение равно корню из дисперсии:

\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\small.\)