Задание
Дана функция
\(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x+7}+\sqrt{x+5}.\)
Запишите область определения функции.
\(\displaystyle x \in \)
Решение
Напомним
Информация
Если функция \(\displaystyle y=f(x)\) задана аналитически, то считается, что ее область определения – все числа, для которых выражение \(\displaystyle f(x)\) имеет смысл.
Выражение
\(\displaystyle \frac{4}{x+7}+\sqrt{x+5}\)
имеет смысл, если
- выражение под корнем неотрицательно,
- знаменатель отличен от \(\displaystyle 0\small.\)
То есть
\(\displaystyle\begin{cases}x+7\,\cancel{=}\,0\small,\\x+5\geqslant 0\small.\end{cases}\)
Множество решений этой системы неравенств \(\displaystyle [-5;\,+\infty)\small.\)
Решим получившуюся систему неравенств:
- синим отметим множество решений \(\displaystyle x+7\,\cancel{=}\,0\small,\)
- красным отметим множество решений \(\displaystyle x+5\geqslant0\small.\)
Тогда множество решений системы:
\(\displaystyle [-5;\,+\infty)\small.\)
Таким образом, область определения функции:
\(\displaystyle [-5;\,+\infty)\small.\)