Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию на отрезки \(\displaystyle 16\) и \(\displaystyle 40\small.\) Найдите разность оснований трапеции.
Пусть \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\)– основания трапеции\(\displaystyle ABCD\small,\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) соответственно. Обозначим через \(\displaystyle T\)точку пересечения диагонали \(\displaystyle AC\) со средней линией\(\displaystyle MN\small.\) Пусть \(\displaystyle MT=16\small,\) \(\displaystyle TN=40\small.\) По свойству средней линии трапеции прямая \(\displaystyle MN\) параллельна прямым \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\small.\) |  |
В треугольнике \(\displaystyle ACD\) отрезок \(\displaystyle TN\) параллелен стороне \(\displaystyle AD\) и проходит через середину стороны \(\displaystyle CD\small.\)
По следствию теоремы Фалеса точка \(\displaystyle T\) является серединой \(\displaystyle AC\small.\)
Тогда \(\displaystyle TN\) – это средняя линия треугольника \(\displaystyle ACD\small,\) а \(\displaystyle TM\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ACB\small.\)
По свойству средней линии треугольника
\(\displaystyle AD =2 \cdot TN={2} \cdot 40 = 80\)
и
\(\displaystyle BC=2 \cdot TM=2\cdot 16=32\small.\)
Следовательно, основания трапеции равны \(\displaystyle AD=80\) и \(\displaystyle BC=32\small,\) их разность составляет
\(\displaystyle AD-BC=80-32=48\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 48{\small .}\)
В ходе решения задачи мы получили следующее свойство средней линии трапеции:
Свойство средней линии трапеции
Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции:
точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle W\) – середины диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\small.\)