Сторона правильного треугольника равна \(\displaystyle \sqrt{3} \small.\) Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Проведем высоту \(\displaystyle CH\) правильного треугольника \(\displaystyle ABC \small.\)
Пусть точка \(\displaystyle O\) – центр вписанной окружности.
Центр вписанной в треугольник окружности – точка пересечения биссектрис.
| Биссектрисы правильного треугольника являются также высотами. Значит, точка \(\displaystyle O\) лежит на высоте \(\displaystyle CH \small.\) Поскольку отрезок \(\displaystyle OH\) перпендикулярен основанию треугольника, то он является радиусом окружности. |  |
Так как высота \(\displaystyle CH\) равностороннего треугольника является и его медианой, то
\(\displaystyle AH=\frac{1}{2} \cdot AB=\frac{\sqrt{3}}{2} \small.\)
Найдем длину отрезка \(\displaystyle CH\) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ACH \small.\)
 | По теореме Пифагора \(\displaystyle AC^2=AH^2+CH^2 \small.\) Тогда \(\displaystyle CH^2=AC^2-AH^2 \small,\) \(\displaystyle CH^2=(\sqrt{3})^2-\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\small.\) Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle CH=\frac{3}{2} \small.\) |
Высоты правильного треугольника являются также медианами, значит точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения медиан.
Тогда точка \(\displaystyle O\) делит медиану \(\displaystyle CH\) в отношении \(\displaystyle 2:1 \small,\) считая от вершины \(\displaystyle C \small.\)
Следовательно,
\(\displaystyle r=\frac{1}{3} \cdot CH=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}5 {\small .}\)