Сторона правильного треугольника равна \(\displaystyle \sqrt{3} \small.\) Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Проведем высоту \(\displaystyle BH\) правильного треугольника \(\displaystyle ABC \small.\)
Пусть точка \(\displaystyle O\) – центр описанной окружности. Центр описанной около треугольника окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Серединные перпендикуляры правильного треугольника являются также высотами. Значит, точка \(\displaystyle O\) лежит на высоте \(\displaystyle BH \small.\)
Так как высота \(\displaystyle BH\) равностороннего треугольника является и его медианой, то
\(\displaystyle AH=\frac{1}{2} \cdot AB=\frac{\sqrt{3}}{2} \small.\)
Найдем длину отрезка \(\displaystyle BH\) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH \small.\)
По теореме Пифагора
\(\displaystyle AB^2=AH^2+BH^2 \small.\)
Тогда
\(\displaystyle BH^2=AB^2-AH^2 \small,\)
\(\displaystyle BH^2=(\sqrt{3})^2-\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} \small.\)
Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle BH=\frac{3}{2} \small.\)
Высота правильного треугольника является также медианой. Значит, \(\displaystyle O\) – точка пересечения медиан.
Тогда точка \(\displaystyle O\) делит медиану \(\displaystyle BH\) в отношении \(\displaystyle 2:1\small,\) считая от вершины \(\displaystyle B \small.\)
Следовательно,
\(\displaystyle R=OB=\frac{2}{3} \cdot BH=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}=1 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 1 {\small .}\)