Известно, что в геометрической прогрессии \(\displaystyle b_3 = 10{ \small ,}\) \(\displaystyle q = \frac{1}{2}{\small .}\) Найти \(\displaystyle b_1{\small .}\)
Первый способ
Сначала найдем \(\displaystyle b_2 {\small ,}\) а потом найдем \(\displaystyle b_1 {\small .}\)
Каждый член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего на одно и то же число \(\displaystyle q{ \small .}\)
Значит, \(\displaystyle b_3\) получается из предыдущего \(\displaystyle b_2\) умножением на \(\displaystyle q{\small : }\)
\(\displaystyle b_3 = b_2 \cdot q{ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_3=10 \) и \(\displaystyle q=\frac{1}{2}{ \small ,} \) то
\(\displaystyle 10=b_2 \cdot \frac{1}{2}{\small ,}\)
\(\displaystyle b_2 =20{\small .}\)
\(\displaystyle b_2\) получается из предыдущего \(\displaystyle b_1\) умножением на \(\displaystyle q{\small : }\)
\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q{ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_2=20 \) и \(\displaystyle q=\frac{1}{2}{ \small ,} \) то
\(\displaystyle 20=b_1 \cdot \frac{1}{2}{\small ,}\)
\(\displaystyle b_1 =40{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 40{\small .}\)
Второй способ
Третий член прогрессии \(\displaystyle b_3\) идет после \(\displaystyle b_1\) через две позиции.
Соседние члены прогрессии отличаются в \(\displaystyle q\) раз:
Значит, если умножить \(\displaystyle b_1\) на \(\displaystyle q\) два раза, получим \(\displaystyle b_3{ \small :}\)
\(\displaystyle b_1\cdot q^2= b_1 \cdot q\cdot q=(b_1 \cdot q)\cdot q=b_2 \cdot q=b_3 { \small .}\)
Отсюда
\(\displaystyle b_3 = b_1\cdot q^2{ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_3=10 \) и \(\displaystyle q=\frac{1}{2}{ \small ,} \) то
\(\displaystyle 10=b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2{\small ,}\)
\(\displaystyle 10=b_1 \cdot \frac{1}{4}{\small ,}\)
\(\displaystyle b_1=40{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 40{\small .}\)