Пусть \(\displaystyle S_{16}=1+2+2^2+\ldots+2^{15}.\)
Используя метод разности сумм, найдите
Чтобы найти \(\displaystyle S_{16}\small,\) сначала найдем
\(\displaystyle S_{16}-2\cdot S_{16}\small.\)
Затем из этого линейного уравнения выразим \(\displaystyle S_{16}\small.\)
\(\displaystyle 2\cdot S_{16}=2+2^2+2^3+\ldots+2^{16}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle S_{16}-2\cdot S_{16}=\left(1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{15}\right)-\left(2+2^2+2^3+\ldots+2^{16}\right)\small.\)
Заметим, что все степени двойки от первой до пятнадцатой \(\displaystyle 2,\,2^2,\,2^3,\,\ldots,\,2^{15}\) встречаются в обеих скобках. Значит, они сократятся.
Тогда останется разность \(\displaystyle 1\) и шестнадцатой степени:
\(\displaystyle 1+\cancel{\color{blue}{2}}+\cancel{\color{green}{2^2}}+\cancel{\color{purple}{2^3}}+\ldots+\cancel{\color{magenta}{2^{15}}}-\cancel{\color{blue}{2}}-\cancel{\color{green}{2^2}}-\cancel{\color{purple}{2^3}}-\ldots-\cancel{\color{magenta}{2^{15}}}-2^{16}=1-2^{16}\small.\)
То есть
\(\displaystyle S_{16}-2\cdot S_{16}=1-2^{16}\small.\)
Теперь, чтобы найти \(\displaystyle S_{16}\small,\) вынесем его за скобку и поделим обе части на получившуюся скобку:
\(\displaystyle S_{16}-2\cdot S_{16}=1-2^{16}\small,\)
\(\displaystyle S_{16}(1-2)=1-2^{16}\small,\)
\(\displaystyle S_{16}=\frac{1-2^{16}}{1-2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S_{16}=\frac{1-2^{16}}{1-2}\small.\)