Найдите обыкновенную дробь, равную периодической дроби:
| \(\displaystyle 0{,}(087)=\) |
Если \(\displaystyle a\),\(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c\) – цифры, то
\(\displaystyle 0{,}(abc)=\frac{abc}{999}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 0{,}(087)=\frac{087}{999}=\frac{87}{999}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{87}{999}{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle x\) – обыкновенная дробь, равная периодической дроби \(\displaystyle 0{,}(087){\small.}\) Тогда
\(\displaystyle x=0,(087){\small.}\)
Умножим обе части уравнения на \(\displaystyle 1000\) для того чтобы получить дробь с тем же периодом и целой частью (то есть умножим на \(\displaystyle 10\dots0\) с таким количеством \(\displaystyle 0,\) сколько цифр в периоде):
\(\displaystyle 1000\cdot x=1000\cdot 0{,}(087){\small;}\)
\(\displaystyle 1000\cdot x=87{,}(087){\small.}\)
Вычтем из полученного уравнения наше исходное уравнение:
\(\displaystyle 1000\cdot x-x=87{,}(087)-0{,}(087){\small;}\)
\(\displaystyle 999\cdot x=87{\small;}\)
\(\displaystyle x=\frac{87}{999}{\small.}\)