Skip to main content

Теория: Числовая прямая и модуль числа

Задание

Найдите число \(\displaystyle p\), такое, что

\(\displaystyle |p-2|=|8-p|.\)

\(\displaystyle p=\)

Решение

Замечание

Напомним, что запись \(\displaystyle A(x)\) означает, что точка \(\displaystyle A\) имеет координату \(\displaystyle x\). Аналогичным образом обозначаются координаты любой точки на числовой прямой.

Замечание

Заметим, что запись \(\displaystyle |a-b|\) определяет расстояние между точками \(\displaystyle A(a)\) и \(\displaystyle B(b)\).

В частности, \(\displaystyle |a|=|a-0|\) – расстояние между точкой \(\displaystyle A(a)\) и началом координат \(\displaystyle O(0)\)

С учетом указанных выше замечаний, перепишем равенство \(\displaystyle |p-2|=|8-p|\) в виде:

\(\displaystyle |p-2|=|p-8|\)

или

\(\displaystyle |p-2|=|p-8|\).

 

Это равенство означает, что расстояния от некоторой точки с координатой \(\displaystyle p\) до точек \(\displaystyle M(2)\) и \(\displaystyle N(8)\) равны (то есть точка с координатой \(\displaystyle p\) равноудалена от точек \(\displaystyle M(2)\) и \(\displaystyle N(8)\)). 

Изобразим на числовой прямой точки \(\displaystyle M(2)\) и \(\displaystyle N(8)\):

 

Поскольку все точки лежат на одной числовой прямой, а точка с координатой \(\displaystyle p\) равноудалена от точек \(\displaystyle M(2)\) и \(\displaystyle N(8)\), то, очевидно, она является серединой отрезка \(\displaystyle MN\).

При этом из рисунка видно, что координата \(\displaystyle p\) этой точки (точка \(\displaystyle P(p)\) на рисунке ниже) равна среднему значению их координат:

\(\displaystyle p=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5\).

Ответ: \(\displaystyle p=5\).