Теория: Наибольшее и наименьшее значение алгебраической дроби (короткая версия)

Так как \(\displaystyle (x+2)^2-5=(x+2)^2+(-5){\small ,}\) то в числителе находится 

сумма \(\displaystyle (x+2)^2\) и отрицательного числа \(\displaystyle -5{\small.}\)

Квадрат числа всегда неотрицателен:

\(\displaystyle (x+2)^2\geqslant 0{\small.}\)

Сумма отрицательного числа \(\displaystyle -5\) и неотрицательного \(\displaystyle (x+2)^2\) будет тем меньше, чем меньше значение \(\displaystyle (x+2)^2{\small.}\)

Но наименьшее значение неотрицательного выражения \(\displaystyle (x+2)^2\) равно \(\displaystyle 0{\small,}\) то есть \(\displaystyle x+2=0{\small ,}\)

что возможно только при \(\displaystyle x=-2{\small.}\) 

Тогда наименьшее значение суммы \(\displaystyle {(x+2)^2-5}{\small}\) равно \(\displaystyle -5\) при \(\displaystyle x=-2{\small.}\)