Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,)(5t\,)+(5t\,)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,)(5t\,)+(5t\,)^2\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=6s\) и \(\displaystyle b=5t.\)
Поэтому
\(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,) (5t\,)+(5y\,)^2=(6s-5t\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (6s-5t\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,)(5t\,)+(5t\,)^2\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,)(5t\,)+(5t\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(6s\,)^2}-2(6s\,)(5t\,)+\color{green}{(5t\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(6s\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(5t\,)^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 6s\) или \(\displaystyle -6s,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 5t\) или \(\displaystyle -5t\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=6s,\)
\(\displaystyle b=5t.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(6s\,)^2-\color{red}{2(6s\,)(5t\,)}+(5t\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2(6s\,)(5t\,)\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 6s,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 5t.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 6s\cdot 5t,\)
\(\displaystyle 2ab=2(6s\,)(5t\,).\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=6s\) и \(\displaystyle b=5t.\)
Поскольку
\(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,)(5t\,)+(5t\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,)(5t\,)+(5t\,)^2=(a-b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=6s\) и \(\displaystyle b=5t\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (6s\,)^2-2(6s\,)(5t\,)+(5t\,)^2=(6s-5t\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (6s-5t\,)^2.\)