Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата разности - 2

Задание

Найдите квадрат разности:
 

\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Сначала заметим, что \(\displaystyle 16s^{\,2}=4^2s^{\,2}=(4s\,)^2.\) Далее распишем \(\displaystyle 24s\) как удвоенное произведение:

\(\displaystyle 24s=2\cdot 4s \cdot 3.\)

Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:

\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s\,)^2-2\cdot 4s \cdot 3+3^2.\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=4s\) и \(\displaystyle b=3\):

\(\displaystyle (4s\,)^2-2\cdot 4s \cdot 3+3^2=(4s-3)^2.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s-3)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (4s-3)^2.\)
 

Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Следовательно,

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=16s^{\,2}-24s+3^2\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Заметим, что  \(\displaystyle 16s^{\,2}=4^2s^{\, 2}=(4s\,)^2\) и поэтому

\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s\,)^2-24s+3^2.\)

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(4s\,)^2}-24s+\color{green}{3^2},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(4s\,)^2}\) и  \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{3^2}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 4s\) или \(\displaystyle -4s,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 3\) или \(\displaystyle -3\) (см. соответствующее доказательство).

Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

\(\displaystyle a=4s,\)

\(\displaystyle b=3.\)

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(4s\,)^2-\color{red}{24s}+3^2,\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}24s\)

при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 4s,\) а вместо \(\displaystyle b\) числа \(\displaystyle 3.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4s\cdot 3,\)

\(\displaystyle 2ab=24s.\)

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=4s\) и \(\displaystyle b=3.\)

Поскольку

\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(a-b\,)^2,\)

то, подставляя \(\displaystyle a=4s\) и \(\displaystyle b=3\) в скобки справа, получаем:

\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s-3)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (4s-3)^2.\)