Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 49t^{\,2}=7^2t^{\,2}=(7t\,)^2.\)
Далее распишем \(\displaystyle 84st\) как удвоенное произведение:
\(\displaystyle 84st=2\cdot 6s \cdot 7t.\)
Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s\,)^2-2\cdot 6s \cdot 7t+(7t\,)^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=6s\) и \(\displaystyle b=7t\):
\(\displaystyle (6s\,)^2-2\cdot 6s \cdot 7t+(7t\,)^2=(6s-7t\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s-7t\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (6s-7t\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 49t^{\,2}=7^2t^{\,2}=(7t\,)^2\) и поэтому
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s\,)^2-84st+(7t\,)^2.\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(6s\,)^2}-84st+\color{green}{(7t\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(6s\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(7t\,)^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 6s\) или \(\displaystyle -6s,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 7t\) или \(\displaystyle -7t\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=6s,\)
\(\displaystyle b=7t.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(6s\,)^2-\color{red}{84st}+(7t\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}84st\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 6s,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 7t.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 6s\cdot 7t,\)
\(\displaystyle 2ab=84st.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=6s\) и \(\displaystyle b=7t.\)
Поскольку
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(a-b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=6s\) и \(\displaystyle b=7t\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s-7t\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (6s-7t\,)^2.\)