Найдите показатели степеней выражений для всех чисел \(\displaystyle a,\, b,\, x,\, y\) и \(\displaystyle t\), таких, что \(\displaystyle (4t)=\not 0:\)
| \(\displaystyle (a+b)\!\cdot\! (x-y)\!\cdot\! (a+b)\cdot (a+b)\!\cdot\! (x-y)=(a+b)\) | \(\displaystyle \cdot \, (x-y)\) | \(\displaystyle \cdot \, (4t)\) |
Так как в произведении
\(\displaystyle \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}\)
\(\displaystyle (a+b)\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{red}3}\) раза,
\(\displaystyle (x-y)\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{blue}2}\) раза,
то
\(\displaystyle \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}= (a+b)^{\:\bf \color{red} 3}\cdot (x-y)^{\:\bf \color{blue}2}.\)
В получившемся произведении присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (x-y)\) и нет множителя \(\displaystyle (4t).\) Это означает, что \(\displaystyle (4t)\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:
\(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\:2}=(a+b)^{\:3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot (4t)^{\: 0}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (a+b)\cdot (x-y)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (x-y)= (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot (4t)^{\: 0}.\)
Ответ: \(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot (4t)^{\: 0}.\)
Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle (4t)\) в нулевой степени дается следующим образом.
В произведении
\(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\)
присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (x-y)\) и нет \(\displaystyle (4t).\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, и поэтому \(\displaystyle (4t)^{\: 0}=1,\) то
\(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}=(a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot \color{red}{1}= (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot \color{red}{(4t)}^{\: 0}.\)