Для любых ненулевых выражений \(\displaystyle (ay),\, (b-3c)\) найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle \frac{(ay)^{31}\cdot (b-3c)^{10}\cdot (ay)^{17}\cdot (b-3c)^{23}} {(b-3c)^{19}\cdot (ay)^{15}\cdot (b-3c)^{11}\cdot (ay)^{5}} = (ay)\) | \(\displaystyle \cdot \,\, (b-3c)\) |
Для того чтобы преобразовать данное выражение, сначала воспользуемся правилом произведения степеней – как в числителе, так и в знаменателе.
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{(ay)}^{31}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{10}\cdot \color{blue}{(ay)}^{17}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{23}} {\color{green}{(b-3c)}^{19}\cdot \color{blue}{(ay)}^{15}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{11}\cdot \color{blue}{(ay)}^{5}}=\frac{\color{blue}{(ay)}^{31+17}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{10+23}}{\color{green}{(b-3c)}^{19+11} \cdot \color{blue}{(ay)}^{15+5}}=\frac{\color{blue}{(ay)}^{48}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{33}}{\color{green}{(b-3c)}^{30} \cdot \color{blue}{(ay)}^{20}}.\)
Далее к полученной дроби применим правило частного степеней.
Частное степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, причем \(\displaystyle n\ge m\), тогда
\(\displaystyle {\bf \frac{a^{\,n}}{a^{\,m}}}= a^{\,n}:a^{\,m}=a^{\,n\,-\,m}.\)
Менее формально: при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{(ay)}^{48}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{33}}{\color{green}{(b-3c)}^{30} \cdot \color{blue}{(ay)}^{20}}=\color{blue}{(ay)}^{48-20}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{33-30}=\color{blue}{(ay)}^{28}\cdot \color{green}{(b-3c)}^{3}.\)
Ответ: \(\displaystyle (ay)^{28}\cdot (b-3c)^{3}.\)