Дана система уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y-x^2&=0{\small , }\\y-\dfrac{3}{x}&=0{\small . }\end{aligned}\right.\)
Определите графически количество решений этой системы.
C геометрической точки зрения, решениями системы уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y-x^2&=0{\small , }\\y-\dfrac{3}{x}&=0{\small , }\end{aligned}\right.\)
являются точки, которые одновременно лежат
- на графике уравнения \(\displaystyle y-x^2=0{\small , }\)
- на графике уравнения \(\displaystyle y-\dfrac{3}{x}=0{\small . }\)
Значит, все такие точки – это точки пересечения данных линий.
Построим данные графики в одной системе координат и по рисунку определим, в скольких точках они пересекаются.
Для удобства выразим сначала в уравнениях \(\displaystyle y\) через \(\displaystyle x{\small . }\) Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=x^2{\small , }\\y&=\dfrac{3}{x}{\small . }\end{aligned}\right.\)
1. Построим параболу \(\displaystyle y=x^2{\small . }\)
2. Построим на этом же рисунке гиперболу \(\displaystyle y=\dfrac{3}{x}{\small . }\)
3. Определим по рисунку количество точек пересечения параболы и гиперболы.
Видим, что парабола и гипербола пересекаются в одной точке.
Значит, система уравнений имеет \(\displaystyle 1 {\small}\) решение.
Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)