Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle 2x^2 - p x +2 =0 \)
имеет один корень (два совпадающих).
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
Уравнение \(\displaystyle 2x^2 - p x +2 =0 { \small } \) является квадратным относительно неизвестной \(\displaystyle x{ \small }\) при любых значениях \(\displaystyle p{ \small .}\)
Квадратное уравнение имеет единственное решение (два совпадающих) тогда и только тогда, когда его дискриминант \(\displaystyle {\rm D}\) равен нулю.
Найдём дискриминант квадратного уравнения \(\displaystyle 2x^2 - p x +2 =0 { \small .} \)
\(\displaystyle {\rm D}= p^2 - 16{ \small .}\)
Выделим сначала коэффициенты данного квадратного уравнения:
\(\displaystyle \red{2}x^2 \color {blue} {-p} x \color {green}{+ 2} =0 { \small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \)\(\displaystyle a=\red{2} { \small ,} \,\, b=\color {blue} {-p} { \small ,} \,\, c=\color {green}{2} { \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= (-p)^2-4\cdot 2\cdot 2{ \small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}= p^2 - 16{ \small .}\)
Теперь выясним, есть ли такие значения \(\displaystyle p{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle {\rm D}=0{ \small .}\)
Для этого решим уравнение:
\(\displaystyle p^2 - 16=0{ \small .}\)
\(\displaystyle p_1=4\) и \(\displaystyle p_2=-4\)– корни уравнения \(\displaystyle p^2 - 16=0 { \small .}\)
Итак, при \(\displaystyle p = 4 \) и при \(\displaystyle p = -4{ \small } \) уравнение \(\displaystyle 2x^2 - p x +2 =0 { \small } \) имеет один корень (два совпадающих).
Ответ: \(\displaystyle p = 4 { \small ;}\) \(\displaystyle p = -4{ \small .} \)