Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам \(\displaystyle 2{\small,}\, \, 4{\small,}\, \, 6{\small,}\, \, 8{\small.} \)
\(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – выпуклый четырёхугольник.
По условию углы выпуклого четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) пропорциональны числам \(\displaystyle 2{\small,}\, \, 4{\small,}\, \, 6{\small,}\, \, 8{\small.} \)
Тогда углы можно выразить как:
\(\displaystyle \angle A=2k{\small,}\) \(\displaystyle \angle B=4k{\small,}\) \(\displaystyle \angle C=6k{\small,}\) \(\displaystyle \angle D=8k{\small,}\)
где \(\displaystyle k\) – некоторый коэффициент.
Следовательно,
\(\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle 2k+4k+6k+8k=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle 20k=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle k=18^{\circ}{\small.}\)
Вычислим величины углов:
\(\displaystyle \angle A=2k=2 \cdot 18^{\circ}=36^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle \angle B=4k=4 \cdot 18^{\circ}=72^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle \angle C=6k=6 \cdot 18^{\circ}=108^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle \angle D=8k=8 \cdot 18^{\circ}=144^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 36^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle 72^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle 108^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle 144^{\circ}{\small.}\)